Exactitud matemática de los agrimensores Acolhua-mexica en la medición y evaluación de los campos registrados en el Códice Vergara, en el siglo XVI.

En los albores de la colonia, el abuso de los españoles se había generalizado y la imposición de impuestos exagerados era una norma aplicada a los pueblos originarios del continente Americano.

         Un caso típico fue el pueblo de Tepetlaoztoc, hoy en el estado de México, municipio ubicado al oriente del estado y al noreste de Texcoco de apenas 27 mil habitantes. Su historia se encuentra relatada en parte en el códice de Tepetlaoztoc, también conocido como el códice Kingsborough, pintado por los años de 1554 y depositado en el Museo Británico, en Londres, Inglaterra. El resto de su historia se encuentra en los códices de santa María de la Asunción, actualmente ubicado en la Biblioteca de sor Juana Inés de la Cruz de la UNAM y en el códice Vergara, resguardado en la Biblioteca Nacional de París, escritos en 1554 y 1544 respectivamente.

         Es precisamente el códice Vergara, el resultado de un abuso cometido por el encomendero Gonzalo de Salazar, asignado al poblado de Tepetlaoztoc, cercano a la capital de la Nueva España, en los alrededores de Texcoco. Este personaje les exigía el pago de altos impuestos, los cuales, les era imposible cumplir por lo gravoso.

         Ante las numerosas quejas de la población, el juez Vergara, ordeno la elaboración de un censo para conocer cuanto podían pagar de impuesto los habitantes del lugar. Es el códice Vergara, único en su género, por ser el censo de las poblaciones Acolhua de la región. Es conocido también como el censo de Tepetlaoztoc.

         “Se trata de un censo único (…) consigna número de personas, genero, edades, vínculos familiares y estado civil (…) así como cuantas tierras pertenecían a cada parcela.”

         El código Vergara esta pintado sobre tela por tlacuilos mexicas, existentes todavía a mediados del siglo XVI.

         Otro aspecto que nos rebela el códice del México antiguo, es el uso extraordinario de las matemáticas por parte de los pueblos mesoamericanos, en es especial del pueblo mexica. No es solamente un censo de tierra, sino consignan también sus medidas y el cálculo de sus superficies, tanto de terrenos cuadrangulares, como de los irregulares.

         El Códice Vergara, así como el de santa María Asunción, contienen cientos de dibujos de campos agrícolas registrados únicamente en sus medidas de superficie.

         En un estudio anterior, los investigadores; pudieron constatar como los agrimensores Acolhua, determinaron las áreas de medición para poder reconstruir sus procedimientos de cálculo. En el estudio efectuado por María del Carmen Jorge, Bárbara J. Williams, C. E. Garza-Humea y Arturo Olvera, se comprobó la exactitud de los valores del área Acolhua, usando matemáticas modernas. Las conclusiones a las que llegan los investigadores, permiten verificar la validez matemática de todos los registros del códice. Los estudiosos nos dicen:

 “Tres cuartos de las áreas están dentro del 5 % del valor máximo posible, y el 85 % esta dentro del 10 %, que se compara con errores referidos por los topógrafos Occidentales, que fechan el trabajo de los Acolhua (…) con una antigüedad de varios siglos”.

         Aun cuando el Código Vergara pertenece ya a los códices coloniales, en vista de haber sido pintado en los inicios de esa época por Tlacuilos Acolhua-mexica, nos proporciona los elementos suficientes para poder reconstruir las matemáticas Acolhua-mexica y poder de esa forma evaluar la exactitud de los registros. En el primer estudio efectuado a estos códices, se demostró que los agrimensores Acolhua registraron longitudes de lado de cientos de campos agrarios usando su medida estándar lineal, el tlalcuahuitl (bastón de tierra; la T, igual a 2.5 m) y distancias más cortas representadas por corazones, flechas y manos (unidades mínimas simples, indivisibles). Así mismo, se demostró que los agrimensores registraron áreas de campos cuadrados con el tlalcuahuitl cuadrado (T2), representado pictográficamente por una notación numérica distintiva o especial. Como lo podemos ver en la siguiente figura:

La imagen representa la casa de campo con sus longitudes de lado. Medidas con el Tlalcuahuitl (T) anotadas de acuerdo alas matemáticas Acolhua, con una línea (1T) y con puntos (20T). Las distancias más cortas están representadas en esta ocasión con un corazón, en todos los campos y una mano en el tercer campo. En la b) se muestran los mismos campos con sus áreas. Las áreas están dadas en T2 y debe leerse multiplicando líneas y puntos en el centro o el margen inferior del rectángulo por 20 y añadir las unidades de la etiqueta superior derecha. “Por ejemplo, el área del último campo es   (la v de 22y sig., 24 v).

 

En el estudio efectuado sobre los 367 campos agrícolas registrada en el códice, nos permite reconstruir la metrología del sistema Acolhua-mexica como un estudio de algoritmos de área.

“El estudio validó lo antes conocido: la medida estándar lineal Acolhua y amontonó pruebas cuantitativas que establecen tanto valores métricos de Acolhua mínimo, como su empleo con fracciones en el cómputo de área. Usando la aritmética Acolhua de congruencia, cinco algoritmos recurrentes fueron descubiertos que reproducen exactamente el 78 % de las áreas registradas. Estos resultados indicaron que las áreas fueron en realidad calculadas, más que moderadas por algún medio físico”.

 

Vergara Base de datos del Cuadrangular.

De acuerdo con los datos obtenidos para los 408 campos registrados en el Vergara, los autores los agruparon en tres variables:

  1.        i.            “longitudes de lado de campo (a, b, c, d) en T.
  2.      ii.            “formas representadas de campo (sin escala lineal, ángulos “correctamente dibujados, o diagonales), y
  3.   iii.            “áreas de campo en T2. “

         “Para la inclusión en la base de datos trabajados, los cuadrangulares tuvieron que satisfacer un requisito, primero que ningún lado sea más largo que la suma de otros tres, queriendo decir, que las fronteras de campo se cierren. Esto se realizado por todos, excepto un campo que fue suprimido del universo de datos; con otros 21, debido a datos incompletos o la ilegibilidad, produciendo una base de datos trabajada de 386 cuadrangulares (la Tabla S1 proporciona longitudes de lado de cuadrangulares, áreas y formas generadas por computadora de campo).”

 

         El método utilizado por los autores es descrito en su estudio de la siguiente forma:

         “El material consiste en 122 cuadrangulares rectángulos (90 cuadrados y 32 rectángulos) y 264 campos irregulares. Para los antiguos, 121 áreas calcularon con la regla geométrica " la longitud × la anchura " iguala con exactitud las áreas registradas en el códice. El procedimiento Acolhua de registro de áreas en T2 (la T × T) demuestra claramente su concepto matemático abstracto, el 5 proceso natural de contar unidades cuadradas de área incluidas dentro de un cuadrangular. Al contrario tenía estos estudios Coloniales españoles, áreas que habrían sido expresados por la cantidad del maíz o el trigo sembrado o cosechados (…).”

         “A diferencia de cuadrangulares rectángulos, que tienen la forma única, probando la exactitud de área de los 264 cuadrangulares irregulares, es más problemática porque, sin datos de ángulo de lado, estos pueden variar en la forma, y por lo tanto el área. Sin embargo, las longitudes de lado de cuadrangulares realmente determinan valores mínimos y máximos posibles para su área. Por lo tanto, como una prueba de exactitud de estudio, podemos decir que áreas Acolhua son factibles si ellos caen dentro de estos valores. De otra manera, estos son irrealizables, por lo tanto matemáticamente imposible sobre una superficie plana. Hay formas de campo de cuadrangulares irregulares que son recuperables, proporcionando una segunda prueba para la viabilidad. Los campos que no pasan la prueba de viabilidad, son sobre todo iluminadores porque estos permiten efectuar una medida cuantitativa del error.”

         Los resultados se alcanzaron con la aplicación de los dos métodos matemáticos usados en el análisis fueron:

“(i) construcción de forma de campo y

“(ii) cómputo del área máxima posible”

El estudio y los resultados completos pueden ser consultados en: “Mathematical accuracy of Aztec land surveys assessed from records in the Codex Vergara” en el sitio web: http://www.pnas.org/content/108/37/15053

O en su traducción al español en el sitio: http://www.liibook.com/leer-6873_exactitud-matematica-de-los-agrime...

©Humberto Miguel Jiménez 2012.

 

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