Factor gnomónico y relación pitagórica restringida en la Región sumeria -ampliado-

Autor: Rubén CALVINO

 

Si bien se verifica que los asentamientos humanos, por lo general se han establecido en sitios donde el factor gnomónico es de valor unitario y/o entero, debemos hacer por lo menos una salvedad con un caso muy puntual en el que esta regla general, no se cumple.

Estamos hablando de la región  sumeria en la Mesopotamia del oriente próximo, lugar donde floreció la cultura sumaria y Uruk  devenida en babilónica.

Cuando en esta cultura relacionamos las medidas de las estatuas del príncipe de Gudea en posición de pié con la estatua del mismo príncipe sentado, arroja un valor de 1,33333 que curiosamente se corresponde con la relación del triángulo rectángulo sumerio inscripto en la tablilla Plimpton 322 basado en los lados (3,4,5) y con el valor no entero del factor gnomónico correspondiente a la Latitud del sitio, lo cual nos hace suponer que el conocimiento gnomónico alcanzado en la Mesopotamia fue superlativo e incluso debió haber incidido fuertemente en todo desarrollo gnomónico posterior.

Sin ninguna duda, debemos decir que en la cultura sumeria se verifica un correlato cierto entre las medidas de la estatua del príncipe de pié con las del príncipe sentado, los lados del triángulo rectángulo de Plimpton y con el valor no entero del factor gnomónico.

61,6/46,2=1,3333...=4/3=factor gnomónico

La tablilla Plimpton 322, contiene el triángulo rectángulo de Plimpton, también conocido como isíaco y que bien podría llamárselo teorema del triángulo rectángulo pitagórico restringido, En resumen, esta civilización tan relevante, se originó en una latitud donde el factor gnomónico, aunque cercano a la unidad, no fue de valor entero sino de 1,333….que precisamente es la relación isísaca o de Plimpton, entre los catetos mayor y menor de un triángulo rectángulo de base 3,4,5 y sus múltiplos.

La tablilla Plimpton 322, es de arcilla y aunque fue hallada en Babilonia, se estima que su origen haya sido la importante ciudad sumeria de Larsa, situada en la localidad de Senkereh de Irak. Mide 13 cm de ancho, 9 cm de altura y 2 cm de espesor y se cree que fue escrita cerca de 1800 a. C. Contiene inscripciones cuneiformes de la época, repartidas en cuatro columnas y 15 filas de números sexagesimales que refieren a las relaciones que hoy conocemos como pitagóricas del triángulo rectángulo de base (3,4,5),. El nombre con que se conoce la tablilla se debe a George Arthur Plimpton quien fuera un editor neoyorquino que compró la tablilla alrededor de 1922, y a mediados de 1930, legó su colección a la Universidad de Columbia.

En cada fila, el número posicionado en la segunda columna puede ser interpretado como el valor del cateto menor y el de la tercera columna, como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, escritos en el sistema sexagesimal, de modo que

Al analizar la fila Nº 11 de la tabla, convertimos las cantidades sexagesimales a decimales y verificamos que se refiere directamente al caso del triángulo rectángulo que nos ocupa.

 

Columna II:   c2=       45  (cateto menor) =   (45/60)  =  0,75

Columna III: c3=   1  15  (hipotenusa)    =  (15/60)+1= 1,25

Cateto mayor = ¿?

 

Luego si elevamos al cuadrado ambos números:

 

.c2 x c2 =  0,75  x  0,75 = 0,5625

.c3 x c3 =  1,25  x  1,25 = 1,5625     

 

Restando ambas cantidades, se obtiene la unidad.

 

.c3 – c 2= 1,5625 – 0,5625 = 1

Luego, todas las raíces de la unidad positiva es 1, con lo cual  el cateto mayor es igual a 1

Si ahora relacionamos los lados del triángulo tenemos que:

 

Cateto mayor / cateto menor = 1 / 0,75 = 1, 333333333

Que es lo que pretendimos demostrar!.

Antes de continuar con esto, amerita recordar que, en general, toda estructura en la que se verifiquen funciones gnomónicas, inevitable e independientemente del aspecto antropomorfo y/o antropométrico alcanzado en el cuerpo material pertinente, reconoce un origen oculto y subyacente en el cuerpo humano erectus obrando como gnomón natural, por lo que cuando nos referimos al gnomón, siempre e implícitamente lo hacemos del cuerpo humano que le dio origen.

Actualmente, la figura humana se la suele dividir en 7,5 cabezas propias, en tanto que los griegos lo hacían en 8, otras culturas en 7 y la mayoría de las primeras culturas comenzaron dividiendo el cuerpo en tres y cuatro “módulos” como es el caso sumerio.

La humanidad se vale de muchos cánones artísticos para representar a la figura humana entre las cuales podemos decir que un canon de siete cabezas y media, tal como hoy se trata a la figura humana, es una figuración común, en tanto que superar este número nos lleva a un canon de ocho cabezas como figura idealizada, y un canon de ocho cabezas y media a nueve, nos conduce a un caso de figuración heroica

Pués bién, si en base a esto suponemos dos gnómones, uno equivalente a la figura humana dividida en cuatro módulos iguales que representen respectivamente -cabeza, tronco, piernas partes superiores- piernas partes inferiores- y otro que mida tres de las cuatro unidades mencionadas. El primero lo usaremos como unidad de medida y el segundo lo plantamos verticalmente en un sitio de Latitud tal que la diferencia algebraica de sombras solsticiales extremas del mediodía, producidas por este segundo gnomón sea de cuatro unidades iguales a las utilizadas como módulos e igual en consecuencia al primer gnomón.

Siendo esta diferencia algebraica de sombras producidas por el gnomón plantado (gnomón de tres partes de altura) igual a la vara gnomónica de cuatro unidades, debemos decir que tal suposición nos ubica en un eje de Latitud de 32,667º, dado que las cuatro unidades de longitud de la sombra dividido por las tres unidades de la altura gnomónica, arrojan un valor de 1,33333… que es el factor gnomónico de la Latitud mencionada.

Conforme a esta posibilidad fáctica, suponemos que a los efectos de la experimentación y aplicación de la gnomónica, los antiguos sumerios y babilónicos no necesitaron conocer los decimales tal como lo conocemos nosotros sino que por el contrario, frente a la inconmensurabilidad relativa que se les presentaba al medir la diferencia de sombras solsticiales extremas en esas latitudes, a partir de su propia altura tomada como gnomón y unidad de medida, pudieron valerse de algún recurso como este, que basado en las relaciones del triángulo rectángulo (3,4,5),  dan solución práctica al problema.

De esta manera, los antiguos sumerios pudieron contar con un gnomón de tres partes de altura (persona sentada) y una unidad de medida de sombra de cuatro partes (persona parada) y para verificar esta posibilidad basta remitirse a las dos figuras del Príncipe de gudea, la sedente o sentado y la otra en que está parado y ver que la figura humana  repartida en cuatro módulos  iguales, se corresponde con gudea parado , en tanto que sentado hacen a las tres partes.

De esa manera la unidad de medida de las sombras, pudo seguir siendo la altura humana completa y sus subdivisiones en siete piés o cuatro módulos.

La figura sentada mide 46,2cm, la cual dividida en tres partes arroja 15,4 que por cuatro nos da 61,6 cm que es la medida de Gudea parado. Luego 61,6/46,2= 1,3333…= fg

Representado en posición de pie, Gudea se encuentra ataviado con gorro y túnica y aparece con un vaso votivo en las manos como símbolo de la fecundidad, donde brota agua con pequeños peces junto a un líquido representado con ondas talladas en la piedra. Resumiendo entonces, el triángulo sumerio pudo ser concebido a partir de un gnomón de ¾ partes de la altura humana y el factor gnomónico en el sitio es del valor de una figura humana parada, dividida por la altura de la figura sentada..

Obviamente que este modelo de unidad de medida y gnomón no estuvo al alcance de cualquier civilización sino de la que fuera cuna del conocimiento científico y técnico más reconocido por la mayoría de los historiadores de la ciencia.

Este conocimiento aquilatado es el que probablemente partió luego a pié y en carros sobre ruedas hacia Europa, China y América, sembrando de gnómones y triángulos su lento paso, en tanto que en medio de la precariedad y orfandad de los inhóspitos lugares recorridos, en tanto sobrevivieron, supieron atesorar y llevar oculto en lo más recóndito de la subjetividad humana, el anhelo y esperanza inquebrantable de realizar en piedra, el monumento más grande! en honor a su saber gnomónico acumulado, anhelo inalcanzable del que dio muestra la cultura selk´nam en la más extrema Patagonia, con su soñada y pétrea choza ceremonial, nunca construida.

Es que el ser humano difundió sus conocimientos gnomónicos acá y allá, y en todo lugar que le fuera posible y que los medios y circunstancias se lo permitieron. Así reprodujo una y otra vez en madera y/o en piedra lo aprendido, dando lugar al surgimiento de otras culturas; algunas tan lejanas como las referidas patagónicas, que en el escalonado símbolo hierognomónico  patagónico –rewe- de siete escalones y sus variantes ceremoniales de 3,4 y 5, sintetizaron gran parte de ese saber gnomónico y del triángulo rectángulo de Plimpton.

 

 

¿Qué determinó el conocimiento y correlato gnomónico pitagórico?,

 

En rigor de verdad no lo sabemos con exactitud pero, podemos arriesgar como hipótesis que partiendo del triángulo gnomónico, los mesopotámicos llegaron a conocer el teorema del triángulo rectángulo pitagórico restringido de Plimpton y a partir de ello todo lo demás.

Si fue así, no lo sabemos, pero no tenemos datos que nieguen esta posibilidad, por lo que al no tener datos en contra y siendo que las hipótesis pueden rechazarse solo cuando surgen datos en su contra, sostenemos esta hipótesis como verdadera.

 

Otro aspecto a destacar, es que en una de las estatuas de Gudea hay una regleta de 26,4cm que es considerada por algunos historiadores de la ciencia y/o especialistas en metrología como el pié de Gudea, (01) el cual, inevitablemente nos induce a pensar en que también los sumerios en algún momento de su historia, supieron usar el pié propio de cada una de las personas, para medir las sombras solares del propio cuerpo con fines de orientación en el tiempo y el espacio, de lo cual surge que el pié de Gudea, con una longitud de 26,4 cm pudo ser el resultado métrico formalmente canonizado e impuesto por las necesidades de la producción y comercialización de los bienes materiales.

No por casualidad los 26,4 cm del pié de Gudea multiplicado por siete, nos da como resultado una altura humana cercana a lo que pudo ser un sumerio medio idealizado, (cuando decimos idealizado, decimos enaltecido, ya sea por hacerlo en un número mayor de piés y/o como presumiblemente se dio en este caso, mediante un pié más largo) por el contrario, es una consecuencia naturalmente necesaria que se haya recurrido a la generalización e imposición de un pié determinado y posiblemente más grande que el pié medio, para el uso comercial y que además la tercera parte de la altura humana idealizada, es decir que un tercio del producto de 26,4cmx7= 184,8cm, sea 184,8/3= 61,6cm, que es la altura de la estatua de pié. En esto no hay casualidades.

Más aún, si luego a esta estatuilla de Gudea parado de 61,6cm de altura, la dividimos en cuatro módulos,61,6/4= 15,4cm, podemos verificar que al tomar tres de estos módulos, es decir 3x15,4=46,2cm, nos da que las tres cuartas partes de la estatuilla de Gudea parado que es la medida la de la estatuilla de Gudea sentado, una de las cuales además, tiene la reglilla con los 26,4cm que indica el pié de Gudea, el cual, vuelto a multiplicar por siete nos retrotrae al principio de la altura humana idealizada de siete piés propios de la estatuilla; esto es los 184,8cm

Ahora bien, si a esto le agregamos que los 61,6cm de la estatuilla de Gudea parado los multiplicados por cuatro, nos da como resultado 246,4cm, que es la medida aproximada de la estela gnomónica en la que se grabó el códico de Hammurabi.

Si se observa el cuadro se verá que la relación del factor gnomónico, 1,333… es la que más veces aparece vinculando a las alturas de estatuillas, altura humana ideal y estelas.

 

Otro aspecto interesante a destacar y que de alguna manera muestra que matemáticamente todo giraba en torno a cantidades claves vinculadas al triángulo, surge de relacionar las alturas de las estatuillas on el 0,75 del cateto menor de la fila número 11 de la tablilla:

 

46,2 / 61,6 = 0,75 = cateto menor (fila 11)

 

El concepto de pié gnomónico se resume como aquel pié propio que sabiéndose la séptima parte del todo corporal, (conforme surge de la relación generalizada de la especie humana) mide la sombra del propio cuerpo en tanto recurso para ubicarse en el tiempo y el espacio.

 

A esta relación específica del la especie humana, quizás por considerar el pié calzado y/o la persona con sombrero, Marco Vitruvio Pollón la entendió en el valor de un sexto, pero Leonardo da Vince la vuelve a uno en siete.

Pese a que es Leonardo quien vuelve a la séptima parte del todo, siempre me pareció que había que valorar a Vitruvio (y así a veces lo denomino) como manera de reconocer a quien instaló históricamente el concepto. Por ello es que para reconocer a Vitruvio, entendí que había que correrlo del lado de Leonardo y evitar que quede eclipsado por su figura, por esta razón a veces, a la sola relación la llamo Pié de Vitruvio o pié propio y cuando este pié de Vitruvio o propio se usa para medir la sombra, lo llamo pié gnomónico.

 

Cuando hablamos de pié gnomónico, la parte fija del todo, aplicada a la medición de la sombra propia, nos exime de considerar la altura gnomónica del individuo que oficia de gnomón, ya que esa altura aunque desconocida, va de suyo como especificidad del todo, oculta en la parte tomada como proporción de siete veces el propio pié.

Esto nos permite entender una vez más al "oscuro" Heráclito, “el gran dialéctico”, en su decir: la naturaleza aprecia el ocultarse>> y agregar que en la proporcionalidad específica, paradojalmente, la parte (medida del pié propio), en tanto lo contiene, oculta al todo (altura propia) y consecuentemente con ello, sentenciar que a los efectos del cálculo de sombras y el tiempo, LA PARTE, (el pié gnomónico) CONTENIENDO (oculto) AL TODO (como proporción específica) NOS EXIME DE CONSIDERAR A LA ALTURA GNOMÓNICA DEL EXPERIMENTADOR.

Aunque parezca confuso como concepto gnomónico y resulte un tanto cercano a las sentencias matemáticas de Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 /1918), es sin embargo una comprobable propiedad del pié gnomónico que quizás, puede entendérsela si se lo compara (salvando las distancias) con el ADN (ácido desoxiribonucleico), el cual siendo solo una pequeñísima parte del espécimen, contiene al todo específico, o de otra manera, recordar el ALEPH de Jorge Luis Borges, que se definía como uno de los puntos del espacio que contiene a todos los puntos >>.

El epistemólogo argentino Juán Samaja dice que es lo que se debe entender por concepto!... Los conceptos no son equis ("x") vacías o "puntos fijos" de donde cuelgan los atributos. –sino que son, como imaginó Leibniz a las mónadas>>

Las mónadas y los conceptos son micro universos que contienen en sí y por sí un sistema de mediaciones que representan sus relaciones con el resto del universo.

En consecuencia, el concepto de pié gnomónico, no es un punto fijo y vacío, en todo caso sería un punto que refleja puntos de la totalidad de puntos que hacen al cuerpo gnomónico completo al cual ese pié pertenece.

El pié gnomónico en definitiva, no surge de una simple relación casual como séptima parte de la altura, sino de un micro-universo-humano u específico del cual forma parte activa, dentro de un sistema de mediaciones que representa las relaciones que el pié, como parte del cuerpo humano tiene con todo el resto del universo específico, al cual pertenece y como parte de un determinado espécimen, representa, directa o materialmente mediado en un palo, menhir o estela, a toda la "la especie humana".

 

Los antecedentes más antiguos que suelen citarse con referencia a la relación de la longitud del pié y las proporciones humanas, se orientan siempre hacia la Estatua sedente (sentada) del príncipe de Gudea, y se la cita como ofrenda a la deidad Ningishida, Ningizzida o simplemente Gizzida, realizada en época de la civilización sumeria y considerada la primera y más antigua de la historia.

La civilización sumeria supo extenderse por el Sur de la Mesopotamia, sobre los ríos Éufrates y Tigris.

A esta deidad se la conocía como "el" o "la" "Señor/a del árbol de la vida" y a veces fue descrita como una serpiente con cabeza humana que devino más tarde en el dios de la sanación y la magia.

No se conoce el sexo de Ningishida, pero en algunas representaciones se le ve con barba y curiosamente, como ocurre en el caso de la Estela gnomónica "D", hallada en el parque arqueológico de COPÁN RUINAS-HONDURAS- aparecen dos serpientes que afloran de sus hombros que, según se afirma, sería el primer símbolo de serpientes gemelas del que se tiene conocimiento y que gnomónicamente podría interpretarse como la duplicidad de los equinoccios y/o solsticios enfrentados.

 

Visto todo esto, recomendamos la lectura y reflexión en torno a los siguientes Diagramas de Identidad Gnomónica y la asociación gnomónica con las culturas y sitios arqueológicos que con cada uno de ellos puede hacerse.

 

 

 

Posible error experimental sumerio y propuesta correctiva

 

Un poco de teoría de errores

Toda acción práctica conlleva inevitablemente al error experimental que se evidencia como una desviación del valor medido de una magnitud física respecto al valor real o pretendido de dicha magnitud.

En general los errores experimentales son ineludibles y dependen básicamente del procedimiento elegido y la tecnología disponible para realizar la medición.

Si los sumerios por ejemplo, se supieron valer de un elemento material determinado operando cual unidad morfológica de sus diseños y construcciones, lo que podría ser un ladrillo tipo de 15cm de altura, la superposición de ellos se convertiría en la superposición experimental del mismo error asociado sistemáticamente a cada ladrillo y aparecería un error multiplicado por el número total de ladrillos. Entonces el error de multiplicación  aumenta o disminuye progresivamente respecto a la característica según aumente o disminuya la variable de medida.

Un error de estas características, originado en el defecto instrumental de medición o en todo caso, en la aplicación del instrumento, es también un error sistemático porque que se produce de igual modo en todas las mediciones que se realizan de una magnitud y La particularidad en la comisión de estos errores es que al aumentar el tamaño de la muestra, el error no tiende a cero porque está implícito en el diseño del estudio por aplicación de la regla o calibre de medida en sucesivas mediciones. Esto resulta difícil de corregir en la fase analítica pero aún más en la práctica, aunque se puede prevenir a través de un buen diseño del estudio aplicando un porcentaje.

 

 

 

 

 

 

Tratando de conciliar las posturas ideales con las fácticas, podemos aplicar la teoría de errores a los datos recopilados y comprobar cuanto nos acercamos y si tal acercamiento es aceptable o no.

 

PLANTEO IDEAL

Estela del código------------------------15X16=240= 20x12= 180x 1,3333…..

Altura ideal de figura -----------------15X12=180=20x12=25,71x7=60x3=45x 1,3333….

Gudea  parado--------------------------15X4=60=20x3=45x 1,3333…..

Gudea  sentado-------------------------15X3=45

Dedos  de manos y piés----------------15x 1,3333=20=2x7,5(palma)=20

Pié de Gudea----------------------------25,71

Base del sistema numérico------------20x3=60=15x1,333…x3 =7,5x2x1,333…x3=60

 

PLANTEO EXPERIMENTAL

S a estos valores ideales los bajamos a la práctica, y conforme surge como error sistemático le asignamos un 2,6% en suma, tenemos que:

Recordemos que la tablilla tiene 15 filas, lo que implicaría la posibilidad de que las tríadas se hayan subdividido en 15 angulaciones.

Aclaración previa: 20 surge de 15x1,3333.. siendo 15 una cantidad que surge primero del número de filas de la tablilla y luego como raíz de muchas de las medidas de las estatuillas como también de la estela. Además 15 es dos veces la medida de una palma ideal de la mano (7,5) pero lo más interesante es que el sistema numérico sumerio es de tres veces los 20 dedos y/o de los 20 dedos repartidos entre la tripartición de las falanges.

 

Estela del código de Hammurabi.

Estela --15X16=240= 20x12= 180x 1,3333…

Luego aplicando la corrección es 240+ 2,6666x180/100=246,4=26,4x7x1,3333

 

Figura  ideal--15X12=180=20x12=25,71x7=60x3=45x 1,3333….

Luego aplicando la corrección, la figura real  es de 180+2,6%=184,4=26,4x7

 

Gudea  parado----------------------15X4=60=20x3=45x 1,3333….

Luego aplicando la corrección es 60+2,6%=61,6=20,52x3 (el 20,52 se explica luego)

 

Gudea  sentado---------------------15X3=45

Luego aplicando la corrección es  45+2,6%=46,2

 

Número de dedos-------------------15x 1,3333=20

Luego aplicando la corrección es  20+2,6%=20,52

 

Pié de Gudea-----------------------25,71

Luego aplicando la corrección es  25,71+2,6%=26,38 aprox=26,4

 

Como se puede apreciar, hay un error sistemático de +2,6%, posiblemente motivado por la aplicación de un instrumento de medición tomado como unidad, el cual, podría ser de 15cm, que es la medida que junto al 1,333333 de el factor gnomónico y/ la doble palma de 2x7,5= 15 son los que más se repiten.

 

De las tríadas de la tableta de Plimton

Columna 1: posible cuadrado del factor gnomónico

Columna 2: posible cuadrado del cateto menor

Columna 3: posible cuadrado de la hipotenusa

Columna 4: numeración de las filas

 

Conclusiones:

Del arqueo gnomónico llevado a cabo sobre la tabla de Plimton 322, surge que la misma contiene 15 tríadas que se corresponden con 15 triángulos solsticiales extremos y sus respectivos factores gnomónicos y latitudes probablemente propias de la Región sumeria, y/o cercanas a ella, ya que se verifica que abarcan un abanico de latitudes entre los 38,5º y los 20º que en términos prácticos, el factor gnomónico unitario.

Rubén CALVINO

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